FUNGSI LIMIT

Pengertian tentang limit dapat diperoleh dengan melihat contoh berikut ini.
Contoh: Perhatikan fungsi

untuk nilai x yang mendekati 1

x	0	0,9	0,95	0,98	…	1,0001	1,0005	1,05	1,1
f(x)	1	1,9	1,95	1,98	…	2,0001	2,0005	2,05	2,1

Gambar grafiknya:

Dari gambar dan tabel dapat disimpulkan:
→  Jika x mendekati 1 dari kiri, maka nilai f(x) mendekati 2

→  Jika x mendekati 1 dari kanan, maka nilai f(x) mendekati 2

→  Jadi, jika x mendekati 1, maka nilai f(x) mendekati 2

Teorema:

Jika limit kiri dan limit kanan tidak sama, maka nilai limitnya tidak ada

Hasil limit tidak boleh bentuk tak tentu:

Sifat-Sifat Limit

Cara Penyelesaian Limit dengan Perhitungan:

1.         Substitusi langsung
Contoh:


2.         Pemfaktoran (biasanya untuk bentuk 0/0)
 Contoh:

Ingat:

(a² – b²) = (a – b)(a + b)

(a³ + b³) = (a + b)(a² – ab + b²)

(a³ – b³) = (a – b)(a² + ab + b²)

 3.         Dikali sekawan (jika ada bentuk akar)
Contoh:


4.         Untuk limit tak terhingga:
→  Jika bentuknya sudah pecahan: dibagi pangkat tertinggi
→  Jika bentuknya belum pecahan: dikali sekawan, baru dibagi pangkat tertinggi
Sifat operasi dengan ∞:

Contoh:


Cara cepat!
→  Untuk bentuk pecahan:

• Jika pangkat pembilang (atas) > penyebut (bawah), hasil =∞
• Jika pangkat pembilang (atas) < penyebut (bawah), hasil =0
• Jika pangkat pembilang (atas) = penyebut (bawah), hasil =koefisien pangkat tertinggi atas : koefisien pangkat tertinggi bawah

Contoh 1:

Contoh 2:

Contoh 3:


→  Untuk bentuk
Contoh:


5.         Limit trigonometri:

Untuk cosinus:
1 – cos ax = 2 sin² ½ ax    (dari rumus cos 2x)
cos ax – 1 = –2 sin² ½ ax (dari rumus cos 2x)
1 – cos²ax = sin²ax            (dari sin²x + cos²x = 1)

Bilangan e

Bilangan e didapat dari:

e = 2,718281828…

Rumus-rumus pengembangannya:

Kontinuitas

Suatu fungsi kontinu di x = a jika:
1.  f(a) ada (dapat dihitung/real)
2. 
3. 

Ilustrasi:

SEKIAN.

CONTOH SOAL FUNGSI LIMIT

Soal No. 1

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Dengan turunan


Soal No. 2

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Masih menggunakan turunan


Soal No. 3

Nilai

A. −1/4
B. −1/2
C. 1
D. 2
E. 4
(Soal Limit Fungsi Aljabar UN 2012)

Pembahasan
Ubah bentuk akarnya ke bentuk pangkat agar lebih mudah diturunkan seperti ini


Turunkan atas - bawah, kemudian masukkan angka 3 nya



Soal No. 4

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi yang sama, m = n



Soal No. 5

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih tinggi dari penyebutnya, m > n



Soal No. 6

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih rendah dari penyebutnya, m < n



Soal No. 7

Nilai dari

adalah...

A. 3/4
B. 4/5
C. 6/5
D. 5/4
E. 4/3
(Ebtanas 1992)

Pembahasan
Limit bentuk selisih akar kuadrat dimana
a = p
dengan b = 3 dan q = −5 sehingga tengok rumus di atas



Soal No. 8

Nilai dari

adalah...

A. − 39/10
B. − 9/10
C. −21/10
D. 39/10
E. ∞

Pembahasan
Langkah pertama ubah ke bentuk selisih akar seperti soal nomor tujuh.



Soal No. 9

Nilai dari

adalah...

A. ∞
B. 8
C. 5/4
D. 1/2
E. 0

Pembahasan
Ubah ke bentuk selisih akar seperti soal nomor tujuh juga.



Soal No. 10

Nilai dari

adalah...

Pembahasan
Ubah ke bentuk selisih akar seperti soal nomor tujuh juga.



Soal No. 11

Nilai dari

Pembahasan
Soal limit aljabar dengan bentuk selisih akar gunakan ketentuan berikut:



Limit selisih akar dengan a = c, sehingga hasilnya = 0

Soal No. 12

Nilai dari

Pembahasan
Limit selisih akar dengan a > c, sehingga hasilnya = ∞


sekian.

LARUTAN PENYANGGA (BUFFER)

Larutan Buffer

Larutan penyangga, larutan dapar, atau buffer adalah larutan yang digunakan untuk mempertahankan nilai pH tertentu agar tidak banyak berubah selama reaksi kimia berlangsung. Sifat yang khas dari larutan penyangga ini adalah pH-nya hanya berubah sedikit dengan pemberian sedikit asam kuat atau basa kuat.

Larutan penyangga tersusun dari asam lemah dengan basa konjugatnya atau oleh basa lemah dengan asam konjugatnya. Reaksi di antara kedua komponen penyusun ini disebut sebagai reaksi asam-basa konjugasi.

Larutan buffer didapat ketika dalam reaksi asam lemah dengan basa kuat, ataupun basa lemah dengan asam kuat didapat sisa mol dalam keadaan setimbang pada zat yang lemah.

• BUFFER ASAM

Campuran asam lemah dengan basa konjugasinya, misalnya CH3COOH dengan CH3COO–. Kita ketahui bahwa hampir semua ion CH3COO– dalam larutan berasal dari garam sebab CH3COOH hanya sedikit sekali yang terionisasi (James E. Brady, 1990).

Untuk mencari konsentrasi H+ dalam larutan buffer asam digunakan rumus diatas. Kemudian setelah diketahui konsentrasi H+ dapat dicari pHnya dengan rumus pH biasa.

 

 

contoh soal 1

Campuran 100 mlCH₃COOH 0,2 M  + 50 ml NaOH 0,2 M, jika harga Ka = 1.10^-5 hitung harga pH campurannya;

Jawaban:

    CH₃COOH  + NaOH  → CH_3­COONa  + H₂O

m     20            10

r      10            10               10           10

s      10             -               10           10

[ H⁺ ]      = Ka . n asam/ n garam

              = 1.10^-5 . 10/10

              = 1.10^-5

pH          = - log [ H⁺ ]

              = - log 1.10^-5

              = 5

contoh soal 2

100 ml larutan CH₃COOH 0,2 M (Ka = 10^-5) dicampur dengan 50 ml NaCH₃COO 0,2 Hitung pH larutan

Jawaban:

Mmol CH₃COOH = 100 . 0,2 = 20 mmol

Mmol NaCH₃COO = 50 . 0,2 = 10 mmol

[ H⁺ ] = Ka . n asam/n basa

          = 1.10^-5 . 20/10

          = 2 . 10^-5

pH      = - log [ H⁺ ]

          = - log 2 . 10^-5

          = 5 – log 2

• BUFFER BASA

            Larutan ini mempertahankan pH pada daerah basa (pH > 7). Untuk mendapatkan larutan ini dapat dibuat dari basa lemah dan garam, yang garamnya berasal dari asam kuat. Adapun cara lainnya yaitu dengan mencampurkan suatu basa lemah dengan suatu asam kuat dimana basa lemahnya dicampurkan berlebih.

contoh soal 1

100 ml NH₄OH 0,2 M   +   50 ml  HCl 0,2 M jika harga Kb = 1.10^-5 hitung pH campurannya

Jawaban

              NH₄OH   +   HCl        →     NH₄Cl   +   H₂O

m    20            10       

r     10             10                   10           10

s     10              -                   10           10

[ OH^- ]     = Kb . n basa/ n garam

              = 1.10^-5 . 10/10

              = 1.10^-5

pOH         = - log [ OH^- ]

              = - log 1.10^-5

              = 5

pH           = 14 – pOH

               = 14 – 5

                             = 9

 

semoga bermanfaat.