FUNGSI KOMPOSISI DAN FUNGSI INVERS

Fungsi Komposisi

Fungsi komposisi adalah “menggabungkan” sebuah fungsi ke dalam fungsi lain sehingga menjadi fungsi baru (fungsi ketiga yang berbeda).
Dalam definisi formal, jika ada fungsi f: X → Y, dan fungsi g: Y → Z, maka komposisinya bisa menjadi g ◦ f : X → Z, atau didefinisikan sebagai (g ◦ f )(x) = g(f(x)), untuk setiap x di X.
Operasi “g ◦ f” bisa disebut “g bundar f”, “g lingkaran f”, “g setelah f”, g dikomposisikan dengan f”, “g mengikuti f”, atau “g dari f”.
Untuk memudahkan pemahaman, bayangkan g(f(x)) sebagai fungsi g(x) yang variabel x-nya diganti dengan fungsi f(x).
Jika X = Y, maka f bisa dikomposisikan dengan dirinya sendiri menjadi f ◦ f = f², yang disebut dengan “fungsi teriterasi”. Fungsi teriterasi dapat dinyatakan dengan ( f ◦ f) = f(f(x)) = f²(x), ( f ◦ f ◦ f)(x) = f³(x),
…, ( f ◦ f ◦ … ◦ f)(x) = f(f(…(f(x))…)) = fⁿ(x), n disebut “pangkat fungsional” dari f.
P.S.: Ada banyak notasi alternatif yang digunakan untuk menyatakan operasi komposisi, namun hanya definisi standard di atas saja yang akan dipakai.

Sifat-sifat Fungsi Komposisi

1. Asosiatif, artinya f ◦ (g ◦ h) = (f ◦ g) ◦ h.
2. Operasi komposisi hanya bisa dijalankan ketika kodomain dari f merupakan subset dari domain g. (dalam kasus khusus, kodomain dari f = domain dari g.).
3. Umumnya, operasi komposisi tidak selalu komutatif, artinya (g ◦ f) = (f ◦ g).
4. Mempertahankan sifat injektif atau surjektif (atau bijektif) dari fungsi-fungsi yang dikomposisi, dengan asumsi bahwa kedua fungsi yang dioperasikan tepat injektif atau surjektif (atau bijektif) saja.

Contoh Fungsi Komposisi

1. Untuk f: R → R dan g: R → R, di mana f(x) = 2x + 7 dan g(x) = x³, maka

(g ◦ f)(x) = g(f(x)) = (2x + 7)³ = 8x³ + 84x² + 294x + 343,
(f ◦ g)(x) = f(g(x)) = 2x³ + 7.

1. Jika ketinggian pesawat ada waktu t diberikan dengan fungsi h(t), dan konsentrasi oksigen pada ketinggian x diberikan dengan fungsi c(x), maka (c ◦ h)(t) = c(h(t)) (i.e. x = h(t)) adalah konsentrasi oksigen di sekitar pesawat pada waktu t.

Jika diketahui sebuah fungsi g(x) = 3x + 5 dan f(g(x)) = f(3x + 5) = 2x⁴ – 7, maka f(x) = 2((x – 5)/3)⁴ – 7.

Nilai Fungsi Komposisi dan Komponen Pembentuknya

Untuk menjelaskan nilai fungsi komposisi terhadap komponen pembentuknya, dapat dilakukan dengan dua cara berikut ini.

1. Dengan menentukan rumus komposisinya terlebih dahulu, kemudian disubstitusikan 
nilainya.
2. Dengan mensubstitusikan secara langsung nilai pada fungsi yang akan dicari.

Untuk lebih memahami, perhatikan contoh soal berikut ini.

Contoh soal

Diketahui dua buah fungsi yang dinyatakan dengan rumus f(x) = 3x – 1 dan g(x) = x2 + 4. Tentukanlah nilai dari fungsi-fungsi komposisi berikut.


a. (gcf)(1)


b. (f c g)(–2)

c. (gcf)(–3)

Penyelesaian


Cara 1

a. (g._0.f)(x)     = g(f(x))


= g(3x – 1)


= (3x – 1)2 + 4


= 9x²–6x+1+4

= 9x² – 6x + 5

(g.0.f)(1)    = 9⋅12 –6⋅1+5

= 9–6+5=8

b. (f.0.g)(–2)   = f(g(x))


= f(x2+4)

= 3(x2+4)–1

= 3×2+12–1


= 3×2+11

(f.0.g)(–2)
   = 3(–2)2 + 11


= 3⋅4+11


= 12+11 = 23

c. (g.0.f)(x)       = 9×2–6x+5

(g.0.f)(–3)     = 9(–3)2 – 6 (–3) + 5

= 81+18+5

= 104

Cara 2
a.(g.0.f)(1)     = g(f(1))

= g(3⋅1–1)

= g(2)


= 22 + 4

= 8

b. (f.0.g) (–2) = f(g(–2))

=  f((–2)2 + 4)

=  f(8)

=  3⋅8–1 = 23

c. (g.0.f)(–3) =
 g(f(–3))

= g(3 (–3) – 1)

= g(–10)

= (–10)2 +4

= 104

Fungsi Invers

Fungsi Invers adalah fungsi yang “membalikkan” fungsi lain. Dengan kata lain, jika f fungsi yang memetakan x ke ya, maka invers dari f, yaitu f ^–1, kan memetakan y ke x.

Sifat-sifat Fungsi Invers

1. Unik/Tunggal, artinya untuk setiap f(x), jika ada 2 fungsi invers f₁^–1(x) dan f₂^-1(x) sedemikian sehingga f(f₁^-1(x)) = id_x dan f(f₂^-1(x)) = id_x, di mana id_x adalah fungsi identitas, maka f₁^-1(x) = f₂^-1(x).
2. Simetris, artinya untuk setiap fungsi f, maka f(f^-1(x)) = f^-1(f(x)) = id_x = x, dan (f^-1)^-1 = f.

Contoh Fungsi Invers

3. Misalkan f fungsi yang berbentuk y = f(x) = 13x + 19, maka x = f(y) = (y-19)/13, sehingga f^-1(x) = (x-19)/13.

Kemudian misalkan f fungsi yang berbentuk umum y = f(x) = ax + b, a dan b bilangan real, maka x = f(y) = f^-1(x) = (y – b)/a.

2. Misalkan f fungsi yang memetakan/mengkonversi temperatur dalam skala Celsius ke skala Fahrenheit, i.e. F = f(C) = 9/5 C + 32.

Maka fungsi invers f ^-1-nya adalah fungsi yang mengkonversi temperatur dalam skala Fahrenheit ke skala Celsius, i.e. C = f ^-1 (F) = 5/9 (F-32).
 Untuk sembarang fungsi f(x) dan g(x), maka (g ◦ f) ^-1 (x) = (f^-1 ◦ g^-1)(x) = f^-1(g^-1((x))).

 Syarat agar Suatu Fungsi Mempunyai Invers

Semua himpunan yang dipetakan oleh fungsi mempunyai invers. Invers dari himpunan tersebut dapat berupa fungsi atau bukan fungsi. Perhatikanlah gambar di bawah ini.

 

Dari gambar (i), himpunan A yang beranggotakan (a1, a2, a3, a4) diperakan oleh fungsi f ke himpunan B yang beranggotakan (b1, b2, b3) daerah hasil adalah: {(a1, b1), (a2, b2), (a3, b3), (a4, b4)}. Pada gambar (ii) himpunan B dipetakan oleh fungsi g ke himpunan A daerah hasil adalah: {(b1, a1), (b2, a2), (b2, a4), (b3, a3)}. Pemetaan g : B → A diperoleh dengan cara menukarkan atau membalik pasangan terurut f : A → B atau B merupakan balikan dari f dinotasikan g = f-1, sering disebut g merupakan invers dari f.

Menentukan Aturan Fungsi Invers dari Suatu Fungsi

Suatu fungsi f akan mempunyai invers, yaitu f –1 jika dan hanya jika fungsi f bijektif atau dalam korespondensi satu-satu. Misalkan, f merupakan fungsi dari A ke B, maka f –1 merupakan fungsi invers f jika berlaku (f –1 c f)(x) = x dan (f c f –1)(x) = x.

Perhatikanlah gambar di bawah ini.

Untuk menentukan fungsi invers dari suatu fungsi dapat dilakukan dengan cara berikut ini.

1. Buatlah permisalan f(x) = y pada persamaan.
2. Persamaan tersebut disesuaikan dengan f(x) = y, sehingga ditemukan fungsi dalam 
y dan nyatakanlah x = f(y).
3. Gantilah y dengan x, sehingga f(y) = f –1(x).

Untuk lebih memahami tentang fungsi invers, pelajarilah contoh soal berikut ini.

Contoh soal

1. Jika diketahui f(x) =, x≠-2 tentukan inversnya.

Penyelesaian

Misal f(x) = y, maka soalnya menjadi:




2. Diketahui f : R → R dengan ketentuan f(x) = 3x + 8.

• Tentukan f–1(x).
• Tentukan (f–1 c f)(x).
• Tentukan (fcf–1)(x).
• Buktikan bahwa (f–1 c f)(x) = (f c f–1)(x).

Penyelesaian

 

SEKIAN...